Question

如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．
（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．
（2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

Answer

（1）此题可以连接平行四边形的对角线，交点是O．作OO1⊥l于O1．根据梯形的中位线定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c．
（2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上方时．结合三角形的中位线定理和梯形的中位线定理进行分析．
【解析】
（1）a、b、c、d满足a+c=b+d．
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到O1的距离，
∴OO1为直角梯形BB1D1D的中位线，
∴2OO1=DD1+BB1=b+d；
同理：2OO1=AA1+CC1=a+c．
∴a+c=b+d．

（2）不一定成立．
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．