Question

已知⊙M的直径AB的两侧有定点O和动点P，点A在x轴上，点B在y轴上，点P在上运动，过O作OP的垂线，与PB的延长线交于点Q，且AB=10．
（1）当点P运动到的中点时，求BP的长；
（2）若A（6，0），当点P运动到与点O关于AB对称时，求OQ的长；
（3）若tan∠OPQ=，当点P运动到什么位置时，OQ取到最大值，并求此时OQ的长．

Answer

（1）根据圆心角、弧、弦间的关系推知OP经过圆心M，所以在直角△BMP中，由勾股定理来求BP的长度；
（2）通过相似三角形△QOP∽△BOA的对应边成比例得到=，即=，则易求OQ=12.8；
（3）根据正切三角函数的定义得到=，则OQ=OP．当OP是⊙M的直径时OQ取得最大值，再把AB的长代入进行计算即可．
【解析】
（1）如图，连接AP．
∵AB是⊙M的直径，点P是的中点，
∴BP=AP，PO⊥AB，
∴OP垂直平分AB，即OP经过圆心M，
∴在直角△BMP中，BP=BM=5；

（2）如图，∵A（6，0），
∴OA=6．
∴在直角△AOB中，AB=10，OA=6，OB===8．
∵点P与点O关于AB对称，AB是直径，
∴OP⊥AB，且OF=PF，
∴OA•OB=AB•OF，即×6×8=×10×OF，则OF=4.8．
∴OP=9.6．
∵∠QPO=∠BAO，∠QOP=∠BOA=90°，
∴△QOP∽△BOA，
∴=，即=，则OQ=12.8；

（3）∵tan∠OPQ=，
∴=，
∴OQ=OP．
∵点P是上的动点，
∴当OP是直径时，OP取最大值10，
∴OQ最大=×10=．