Question

如图，已知正方形ABCD，E为对角线BD延长线上一动点，F为BC延长线上一点，AE⊥EF，BD=nDE，CD的延长线交AE于点K．

（1）如图1，若n=2时，求证：BC=CF．
（2）如图2，在（1）的条件下，求证：=；
（3）若n=______

Answer

（1）连接AC，交BD于点O，先由正方形的性质得出AC⊥BD，OA=OB=OD，根据正切函数的定义求出tan∠AEO==，再证明A、B、F、E四点共圆，根据圆周角定理得到∠AFB=∠AEB，然后由tan∠AFB=tan∠AEB=即可得出BC=CF；
（2）先由KD∥AB，得出△EKD∽△EAB，根据相似三角形对应边成比例得到==，再设KD=a，则AB=BC=CF=3a，CK=4a，在Rt△KCF中，运用勾股定理求出KF=5a，即可证明=；
（3）先由（1）知∠AFB=∠AEB=30°，再根据正切函数的定义得出tan∠AEB===，计算即可求出n=+1．
（1）【解析】
连接AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OD．
∵BD=2DE，
∴OA=OD=DE，
∴tan∠AEO==，
∵∠AEF+∠ABC=90°+90°=180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∴tan∠AFB=tan∠AEB=，
∴BF=2AB=2BC，
∴BC=CF；

（2）证明：∵KD∥AB，BD=2DE，
∴△EKD∽△EAB，
∴==．
设KD=a，则AB=3a，CD=BC=CF=3a，CK=4a．
在Rt△KCF中，∵∠KCF=90°，
∴KF==5a，
∴==；

（3）【解析】
若n=+1时，能使∠AFB=30°．理由如下：
由（1）知∠AFB=∠AEB=30°．
∵OA=OD=BD，BD=nDE，
∴tan∠AEB===，
∴BD=DE，
∴n===+1．
故答案为+1．