Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）是否存在以BM为斜边的Rt△BCM的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接PC交线段BM于Q点，且S_△BPQ=S_△CMQ，请写出点P的坐标．

Answer

（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标；
（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标以及顶点M的坐标，然后根据勾股定理列式求出BC2，BM2，MC2，然后在Rt△BMC中，利用勾股定理列式进行计算即可求出m的值，从而得到抛物线解析式；
（3）根据m的值确定出点C、M的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后根据S△BPQ=S△CMQ时则S△BPC=S△BMC，利用等底同高的三角形的面积相等可知此时MP∥BC，然后根据互相平行的两直线的解析式的k值相等以及点M的坐标求出直线MP的解析式，联立抛物线解析式求解即可得到点P的坐标．
【解析】
（1）令y=0，则mx2-2mx-3m=0，
即x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0）；

（2）令x=0，则y=-3m，
∴点C坐标为（0，-3m），
∵y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点M坐标为（1，-4m），
∴BC2=32+（3m）2=9+9m2，BM2=（3-1）2+（4m）2=4+16m2，MC2=12+[（-3m-（-4m）]2=1+m2，
∵Rt△BCM以BM为斜边，
∴BC2+MC2=BM2，
即9+9m2+1+m2=4+16m2，
整理得，m2=1，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（3）在（2）的条件下，点C坐标为（0，-3），M（1，-4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以直线BC的解析式为y=x-3，
∵S△BPQ=S△CMQ，
∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ，
即S△BPC=S△BMC，
∴点P到BC的距离等于点M到BC的距离，
∴MP∥BC，
设MP的解析式为y=x+c，
则1+c=-4，
解得c=-5，
所以，直线MP的解析式为y=x-5，
联立，
解得（为点M坐标），，
所以，点P的坐标为（2，-3）．