Question

如图所示，已知BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点．
（1）若∠ACB=58°，求∠ADC的度数；
（2）当=时，连接CD、AD，其中AD与直径BC相交于点E，求证：2CD²=CE•BC；
（3）在（2）的条件下，若∠COD=45°，CE=，求的值．

Answer

（1）根据圆周角定理以及三角形内角和定理得出∠ADC的度数；
（2）利用=时，得出∠COD=∠EDC，即可得出△DCE∽△OCD，进而得出2CD2=EC•BC；
（3）根据（2）中条件得出∠AOC=90°，进而得出半径OB=x，AF=x-1=AO=x，求出x的值，即可得出的值．
【解析】
（1）如图1，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=58°，
∴∠B=90°-58°=32°，
∴∠ADC=32°；

（2）如图2，
∵=，
∴∠COD=∠EDC，
∵∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴=，
∴CD2=EC•CO，
∴2CD2=EC•BC；

（3）∵∠COD=45°，∠DAC=∠COD，=，
∴AD平分∠OAC，∠AOC=90°，
如图3，过点E作EF⊥AC，
由题意可得出：∠BCA=45°，
∵EC=，
∴EF=1，
设半径OB=x，AF=x-1=AO=x，
解得：x=+1，
∴BC=2（+1）=2+2，
AB=（+1），
∴==．