Question

如图，AB是半圆O的直径，且AB=，矩形CDEF内接于半圆，点C，D在AB上，点E，F在半圆上．
（1）当矩形CDEF相邻两边FC：CD=：2时，求弧AF的度数；
（2）当四边形CDEF是正方形时：
①试求正方形CDEF的边长；
②若点G，M在⊙O上，GH⊥AB于H，MN⊥AB于N，且△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，求HN的长．

Answer

（1）根据圆的对称性，矩形CDEF内接于半圆可得CO=OD，进而得出tan∠FOC==，即可得出弧AF的度数；
（2）①利用四边形CDEF是正方形，则FC=2CO，由FC2+CO2=（2）2，求出CO即可；
②根据△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，得出DH=HG，HN=MN，利用OH2+HG2=OG2，求出DH的长，进而利用ON2+NM2=OM2，求出HN的长即可．
【解析】
（1）连接FO，
根据圆的对称性，矩形CDEF内接于半圆可得CO=OD，
∴Rt△COF中，tan∠FOC==，
∴∠FOC=60°，
∴弧AF的度数为60°；

（2）①∵四边形CDEF是正方形，
∴FC=2CO，
∵FC2+CO2=（2）2，
解得：CO=2，
∴CF=4，正方形的边长为4，
②连结OG，OM，
∵△GDH和△MHN都是等腰直角三角形，
∴DH=HG，HN=MN
在Rt△OGH中，OH2+HG2=OG2，
设DH=x，则（2+x）2+x2=（2）2，
解得x=2 或x=-4（舍去），
在Rt△OMN中，ON2+NM2=OM2，设HN=y，
∴（2+2+y）2+y2=（2）2，
解得：y=-2±（舍去负值），
∴HN=-2．