Question

如图，A、B分别是x轴和y轴上的点，以AB为直径作⊙M，过M点作AB的垂线交⊙M于点C，C在双曲线y=
（x＜0）上，若OA-OB=4，则k的值是    ．

Answer

作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，连结AC、BC，由AB为⊙M的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，而CM⊥AB，则△ACB为等腰直角三角形，可得到CA=CB，AB=BC，再根据圆周角定理得到∠CAO=∠CBO，易证得Rt△ACD≌Rt△BCE，则CD=CE，于是可设C点坐标为（-t，t），A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），由OA-OB=4，则a=b-4，得到a2=（b-4）2=b2-8b+16①，再利用勾股定理有AB2=a2+b2，BC2=CE2+BE2，则（a2+b2）=t2+（t-b）2②，由①②得t2-4-bt+2b=0，分解变形后可解得t=2，然后把C点坐标代入反比例函数解析式可求出k的值．
【解析】
作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，连结AC、BC，如图，
∵AB为⊙M的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CM⊥AB，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴CA=CB，AB=BC，
∵∠CAO=∠CBO，
∵在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴CD=CE，
设C点坐标为（-t，t），A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
∵OA-OB=4，即-a-（-b）=4，
∴a=b-4，
∴a2=（b-4）2=b2-8b+16①，
∵AB2=a2+b2，BC2=CE2+BE2，
∴（a2+b2）=t2+（t-b）2②，
由①②得t2-4-bt+2b=0，
∴（t+2）（t-2）-b（t-2）=0，
∴（t-2）（t+2-b）=0，
而t+2-b≠0，
∴t-2=0，解得t=2，
∴C点坐标为（-2，2），
把C（-2，2）代入y=得k=-2×2=-4．
故答案为-4．