Question

如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q
（1）如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．
（2）如图3，当时
①EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．
②在旋转过程中，连接PQ，若AC=30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm²），求 S关于x的函数关系，并求出x的取值范围．

Answer

（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，从而证明结论；
（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，证明△MEP∽△NEQ，发现EP：EQ=ME-NE=AE：CE，继而得出结果；
②设EQ=x，根据上述结论，可用x表示出S，确定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范围．
【解析】
（1）连接BE，如图2：
证明：∵点E是AC的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=EC=AE，∠PBE=∠C=45°，
∵∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°，
∴∠PEB=∠QEC，
在△BEP和△CEQ中，
，
∴△BEP≌△CEQ（ASA），
∴EP=EQ．

（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图3：
∵∠A=∠C=45°，
∴EM=AM，EN=CN，
∵∠MEP+∠PEN=∠NEQ+∠PEN=90°，
∴∠MEP=∠NEQ，
又∵∠EMP=∠ENQ=90°，
∴△MEP∽△NEQ，
∴EP：EQ=ME：NE=ME：CN=AE：CE=1：2，
故EQ=2EP．
②设EQ=x，由①得，EP=x，
∴S△EPQ=EP×EQ=x2，
当EQ=EF时，EQ取得最大，此时EQ=DE×tan30°=30×=10；
当EQ⊥BC时，EQ取得最小，此时EQ=EC×sin45°=20×=10；
即，
综上可得：S=x2（10≤x≤10）．