Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的长，由射影定理能求出OC的长，也就得到了点C的坐标．
（2）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式，由x=-能求出抛物线的对称轴．
（3）首先求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于Q，在知道抛物线和直线AC解析式的情况下，用m表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为线段PQ的长，而S=AC•PQ，据此求得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可确定S最大时点P的坐标．
（4）首先设出点M的坐标，然后列出△MPC的三边长，若该三角形是等腰三角形，根据①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
则：OC==4，
∴C（4，0）．

（2）设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入点A的坐标，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2，对称轴 x=．

（3）设直线AC的解析式为：y=kx+2，代入点C（4，0），得：
4k+2=0，k=-
∴直线AC：y=-x+2；
过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，-m2+m+2）、
∴S梯形AOHP=[2+（-m2+m+2）]m=-m3+m2+2m，
S△PHC=（4-m）（-m2+m+2）=m3-m2+2m+4，
S△AOC=×4×2=4，
S=S梯形AOHP+S△PHC-S△AOC=-m2+4m=-（m-2）2+4，
∴当m=2，即 P（2，3）时，S的值最大．

（4）依题意，设M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：
MP2=b2-6b+、MC2=b2+、PC2=13；
当MP=MC时，b2-6b+=b2+，解得 b=；
当MP=PC时，b2-6b+=13，解得 b=；
当MC=PC时，b2+=13，解得 b=±；
综上，存在符合条件的M点，且坐标为 （，）、（，）、（，）、（，）、（，-）．