Question

平面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'．
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．

Answer

（1）根据旋转的性质求出点A′的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先证明△C′OD∽△BOA，由相似三角形的性质即可得出重叠部分△OC'D的周长；
（3）根据三角形面积求出，配方即可得到△AMA'的最大面积和M的坐标．
【解析】
（1）∵▱ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'，点A的坐标为（0，3），
∴点A′的坐标为（3，0）．
∵抛物线过点A、C、A′．
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），可得
，
解得．
故此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）∵AB∥CO，∴∠OAB=90°，
∵AB=OC=1，AO=3．
∴OB=．
可证△C′OD∽△BOA，
△C′OD的周长与△BOA的周长比=OC′：OB=1：
△BOA的周长=4+，
△C′OD的周长=．

（3）连接A′A，OM，设M点的坐标为：（m，n），
∵点M在抛物线上，
∴n=-m2+2m+3，
∴S△AMA′=S△AMO+S△OMA′-S△AOA′
=OA•m+OA′•n-OA•OA′
=（m+n）-
=（m+n-3），
将n=-m2+2m+3代入，原式=-（m2-3m）=-（m-）2+，
∵0＜m＜3，
∵m=时，n=，△AMA'的面积最大S△AMA'=，
∴M（，），△AMA'的面积最大S△AMA'=．