Question

已知抛物线y=ax²-2x+c与它的对称轴相交于点A（1，-4），与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D），过P作PE∥x轴交直线AB于E，过E作EF⊥x轴于F，求当四边形OPEF的面积等于时点P的坐标．

Answer

（1）由题意可知抛物线的顶点就是A点，因此可将A的坐标代入抛物线的解析式中，并根据对称轴x==1，联立方程组即可求出a，c的值，进而可得出抛物线的解析式．
（2）四边形OPEF是个直角梯形，可先求出AD，AB所在直线的解析式，根据AD所在直线的解析式设出P的坐标，又由于PE∥x轴，P、E两点的纵坐标相同，然后根据AB所在直线的解析式得出E点的坐标，进而可求出F点的坐标．根据求出的P、E、F三点坐标，可得出梯形的上下底OF、EP的长以及直角梯形的高EF的长（即E点纵坐标的绝对值），根据梯形的面积公式即可得出关于梯形的面积与P点坐标的函数解析式，然后将S=代入函数中即可求出P点的坐标．
【解析】
（1）由题意，知点A（1，-4）是抛物线的顶点，
∴
∴a=1，c=-3，
∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3．

（2）由（1）知，点C的坐标是（0，-3）．
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
则
∴b=-3，k=-1，
∴y=-x-3．
由y=x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3，
∴点B的坐标是（3，0）．
设直线AB的函数关系式是y=mx+n，
则解得m=2，n=-6．
∴直线AB的函数关系式是y=2x-6．
设P点坐标为（xP，yP），则yP=-xP-3．
∵PE∥x轴，
∴E点的纵坐标也是-xP-3．
设E点坐标为（xE，yE），
∵点E在直线AB上，
∴-xP-3=2xE-6，
∴xE=．
∵EF⊥x轴，
∴F点的坐标为（，0），
∴PE=xE-xP=，OF=，EF=-（-xP-3）=xP+3，
∴S四边形OPEF=（PE+OF）•EF=（+）•（xP+3）=，
2xP2+3xP-2=0，
∴xP=-2，，
当y=0时，x=-3，
而-3＜-2＜1，，
∴P点坐标为和（-2，-1）