Question

如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）求弦AC的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

【解析】
（1）证明：如图，连接OA，

∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°。

∴∠AOB=2∠ACB=60°。

∴在△ABO中，

∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，

即AB⊥OA。

又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线。

（2）如图，连接AD，

∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°。

∵由（1）知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4。

∴根据勾股定理得。

∴弦AC的长是。

（3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=，

∴S△ABC=AD•AC=×4×=。

∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC=S△ABC=。

∴S阴影=S扇形ADO+S△AOC。

∴图中阴影部分的面积是。

【解析】

试题分析：（1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可。

（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度。

（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积。