Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．

Answer

（I）要证明RP=RQ，需要证明∠PQR=∠RPQ，连接OQ，则∠OQR=90°；根据OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根据等角的余角相等即可证明；
（II）延长AO交圆于点C，首先根据勾股定理求得BP的长，再根据相交弦定理求得QP的长即可．
（Ⅰ）证法一：
连接OQ；
∵RQ是⊙O的切线，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．
证法二：
作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，
∴∠B+∠C=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°．
∴∠C=∠BPO．
又∠BPO=∠RPQ，
∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ为⊙O的切线，
∴∠PQR=∠C．
∴∠PQR=∠RPQ．
∴RP=RQ．

（Ⅱ）解法一：
作直径AC，
∵OP=PA=1，
∴PC=3．
由勾股定理，得BP==
由相交弦定理，得PQ•PB=PA•PC．
即PQ×=1×3，
∴PQ=．
解法二：
作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，
设RQ=RP=x；
由切割线定理，得：x2=（x-1），（x+3）
解得：x=，
又由△BPO∽△RPF得：，
∴PF=，
由等腰三角形性质得：PQ=2PF=．