Question

在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆．探究、归纳：
（1）当r=______时，⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3；
（2）当r=______时，⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于3；
（3）随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数有哪些变化并求出相对应的r的值或取值范围（不必写出计算过程）．

Answer

（1）根据垂线段最短，则要使⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是5-3=2；
（2）根据点O到直线l的距离为5，要使⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是5+3=8；
（3）结合上述两种特殊情况即可对此题进行分情况考虑：当0＜r＜2时，或当r=2时，或当2＜r＜8时，或当r=8时，或当r＞8时．
【解析】
（1）r=5-3=2；

（2）r=5+3=8；
（3）当0＜r＜2时，⊙O上没有点到直线l的距离等于3，
当r=2时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3，
当2＜r＜8时，⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3，
当r=8时，⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3，
当r＞8时，⊙O上有且只有4个点到直线l的距离等于3．