Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=DB．

Answer

由条件先证△BED≌△AED，得，∠B=∠2=∠1，再根据直角三角形的性质，两锐角的和为90°，求得∠B=30°即可得证．
【解析】
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠BED=90°，
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠3=∠4，又∵DE=DE，
∴△BED≌△AED（ASA），
∴AD=BD，∠2=∠B，
∵∠BAD=∠2=∠BAC，
∴∠1=∠2=∠B，
∴AD=BD，
又∵∠1+∠2+∠B=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
在直角三角形ACD中，∠1=30°，
∴CD=AD=BD．