Question

有一种等腰三角形，经过它的一个顶点的一条直线把这个等腰三角形分成了两个小三角形，这两个小三角形也是等腰三角形，则这种等腰三角形的顶角度数是    （至少要写出两种情况）

Answer

本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．
【解析】
设该等腰三角形的底角是x；
①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
则顶角是90°；
②如图，AC=BC=BD，AD=CD，
设∠B=x°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=x°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=2x°，
∴∠ACB=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°．
③当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AC=BC，AB=AD=CD，
设∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
则顶角是36°．
④当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合，如图
AD=BD，BC=DC，
∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
则x+3x+3x=180°，
x=
因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或．