Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．

Answer

（1）要证△ABD∽△DCE，根据已知，可知∠B=∠C，只需要再证∠DEC=∠ADB，利用三角形的外角等于不相邻的两内角之和，可证．那么△ABD∽△DCE；
（2）由（1）中的相似，再加一个条件，即能全等，比如加上AB=CD即可．那么AB=AC=CD，再由△ABD≌△DCE，可得∠ADC=∠CAD，那么就有2∠EDC+45°=90°，即∠EDC=22.5度．
【解析】
（1）∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=45°，
又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），
同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE．

（2）在Rt△ABC内，作∠BAD=22.5°，
（即∠A的四等份线）交BC于D，则点D即为所求．
∵△ABD∽△DCE当AB=CD时，△ABD≌△DCE，
∵AB=AC，
∴CD=AC从而∠ADC=∠CAD．
又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°，
∴∠EDC=22.5°．