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如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,...

如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗?试说明理由.

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先过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,构造全等三角形:Rt△PCE和Rt△PDF,这两个三角形已具备两个条件:90°的角以及PE=PF,只需再证∠EPC=∠FPD,根据已知,两个角都等于90°减去∠CPF,那么三角形全等就可证. 【解析】 PC与PD相等.理由如下: 过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F. ∵OM平分∠AOB,点P在OM上,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等) 又∵∠AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°, ∴四边形OEPF为矩形, ∴∠EPF=90°, ∴∠EPC+∠CPF=90°, 又∵∠CPD=90°, ∴∠CPF+∠FPD=90°, ∴∠EPC=∠FPD=90°-∠CPF. 在△PCE与△PDF中, ∵, ∴△PCE≌△PDF(ASA), ∴PC=PD.
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考点分析:
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如图,在△ABC中,∠C=90度.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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