Question

如图，已知CE为△ABC中∠C的平分线，AD∥CE交BC延长线于D，如果F为AD的中点，求证：CF⊥CE．

Answer

由于CE是角平分线，那么有∠ACE=∠BCE，而CE∥AD，可得∠DAC=∠ACE，∠BCE=∠D，等量代换，可得∠CAD=∠D，根据等角对等边，有CD=CA，而F是AD中点，三线合一可知CF⊥AD，即∠AFC=90°，再结合CE∥AD，易证∠ECF=90°，从而可证CE⊥CF．
证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥CE
∴∠CAD=∠ACE，∠D=∠BCE，
∴∠CAD=∠D，
∴CA=CD，
又∵F为AD中点，
∴CF⊥AD，
又∵AD∥CE，
∴∠AFC+∠ECF=180°，
∴∠ECF=90°，
∴CF⊥CE．