Question

在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）BE的长为______，QF的长为______；
（2）四边形PEFH的面积为______

Answer

（1）由于在Rt△PBE中，∠BPE=30°，设BE=x，然后根据三角函数的定义用x分别表示PE，PB，而BE+EC=BC，由此可以得到关于x的方程，解方程即可求出BE，接着求出PB，PA，PH，最后根据已知利用三角函数即可QF的值；
（2）根据已知可以得到四边形PEFH的面积等于梯形EFCD的面积减去三角形HFQ的面积，所以分别求出梯形EFCD的面积和三角形HFQ的面积即可．
【解析】
（1）设BE=x，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，
∴PE=2x，PB=x，
由题意得EC=EP=2x，
∵BE+EC=BC，
∴3x=6，x=2，即BE=2，
∴EC=4，PB=2
∴PA=，
在Rt△APH中，∠APH=60°，
∴AH=3，PH=2
∴HQ=PQ-PH=，
在Rt△HQF中，∠QHF=30°，
tan∠QHF=，
∴QF=1；

（2）∵S梯形FECD=（1+4）×3=，
∴S△HFQ=，
∴S四边形PEFH=S梯形FECD-S△HFQ=．