Question

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的两个根，且x₁²+x₂²=9，求a的值．

Answer

（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
（2）利用根与系数的关系化简x12+x22=9，求出a的值．
【解析】
（1）当a-1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；
当a≠1时，由△=b2-4ac≥0，得（2a-3）2-4a（a-1）≥0，
解得a≤，
∵a-1≠0，∴a≠1，
则a的取值范围是a≤且a≠1，
（2）∵x1，x2是一元二次方程（a-1）x2-（2a-3）x+a=0的两个根，
∴x1+x2=，
x1x2=．
又∵x12+x22=9，
∴（x1+x2）2-2x1x2=9．
（）2-2×=9．
整理，得7a2-8a=0，
a（7a-8）=0．
∴a1=0，a2=（舍去）．
经检验0是方程的根．故a=0．