Question

设m为整数，且4＜m＜40，方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0有两个整数根，求m的值．

Answer

方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数的m的值，求得后再代入方程检验即可．
【解析】
∵a=1，b=-2（2m-3），c=4m2-14m+8，
∴△=b2-4ac=4（2m-3）2-4（4m2-14m+8）=4（2m+1）．
∵方程有两个整数根，
∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，
所以2m+1也是一个完全平方数．
∵4＜m＜40，
∴9＜2m+1＜81，
∴2m+1=16，25，36，49或64，
∵m为整数，
∴m=12或24．
代入已知方程，
得x=16，26或x=38，52．
综上所述m为12，或24．