Question

已知关于x的方程（n-1）x²+mx+1=0  ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0  ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是-，求方程②的根．

Answer

（1）方程①有两个相等的实数根，则n-1≠0，△1=0，可得m2=4n-4＞0，代入方程②的判别式△2=8m2（n+3）（n-1）＞0．
（2）于方程①两根相等，都是-，由根与系数的关系，列出m与n的方程组，求出m与n的值，代入方程②，求出其根．
（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，
∴△1=0，
即n-1≠0，m2-4（n-1）=0，
m2=4（n-1）．
因为m2≥0，n≠1．
∴m2=4（n-1）＞0，n＞1．
方程②中，△2=（-2m）2-4m2（-m2-2n2+3）=4m2（1+m2+2n2-3）=4m2（m2+2n2-2）．
将m2=4n-4代入，得△2=4m2（2n2+4n-6）=8m2（n+3）（n-1）．
∵m2＞0，n＞1．
∴△2＞0，
∴方程②有两个不相等的实数根．

（2）【解析】
∵方程①有两个相等的实数根，
∴两根都是-，
则-=-1，
=，
解得n=5，m=4．
代入方程②得16y2-8y-16-50+3=0．
解得y1=-，y2=．