Question

已知：关于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据一元二次方程的根的判别式△=0，建立关于m的等式，由此求出m的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根；
（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22=136，即（x1+x2）2-2x1x2=136．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
【解析】
（1）若方程有两个相等的实数根，
则有△=b2-4ac=（8-4m）2-16m2=64-64m=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2+4x+4=0，
∴x1=x2=-2；
（2）不存在．
假设存在，则有x12+x22=136．
∵x1+x2=4m-8，
x1x2=4m2，
∴（x1+x2）2-2x1x2=136．
即（4m-8）2-2×4m2=136，
∴m2-8m-9=0，
（m-9）（m+1）=0，
∴m1=9，m2=-1．
∵△=（8-4m）2-16m2=64-64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m1=9，m2=-1都不符合题意，
∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．