Question

已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．
（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；
（2）若△ABC的面积为3cm²，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．

Answer

（1）根据△FEC是△ABC顺时针旋转180°产生的，可知，AC=CF，BC=CE，所以得到四边形ABFE是平行四边形；由平行四边形的性质可知AE∥BF且AE=BF；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，则可求得S△ABC=3cm2，又因为四个三角形等底同高，所以S四边形ABFE=4×S△ABC，可求得面积是12cm2；
（3）当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，可得AF=BE，即四边形ABCD是矩形．
【解析】
（1）∵△FEC是△ABC顺时针旋转180°产生的，
∴ACF、BCE共线且AC=CF，BC=CE（2分），
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF且AE=BF．（3分）

（2）过点A作AD⊥BC于点D，
则S△ABC=BC•AD=3cm2．（5分）
又∵平行四边形ABFE中，BC=CE，S△ABC=S△AEC，S△FBC=S△FEC，
又∵AC=CF，
∴S△AEC=S△FBC，
∴四个三角形面积相等，
∴S四边形ABFE=4×S△ABC=12cm2．（6分）

（3）∠ACB=60°时，四边形ABEF是矩形，（7分）
理由：∵当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，
∴AF=BE，（8分）
∴四边形ABEF是矩形．（9分）