Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C₁，连接BB₁．设CB₁交AB于D，A_lB₁分别交AB、AC于E、F．
（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）当△BB₁D是等腰三角形时，求α；
（3）当α=60°时，求BD的长．

Answer

（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA1F．
（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．
（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长．
【解析】
（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等；
以证△CBD≌△CA1F为例：
证明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°
∴∠A1CF=∠BCD
∵A1C=BC
∴∠A1=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA1F；

（2）在△CBB1中
∵CB=CB1
∴∠CBB1=∠CB1B=（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B1B=B1D，则∠B1DB=∠B1BD
∵∠B1DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D；
③若BB1=BD，则∠BDB1=∠BB1D，即45°+α=（180°-α），α=30°
由①②③可知，当△BB1D为等腰三角形时，α=30°；

（3）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，
∴DG=xtan60°=x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，
∴BG=GD=x，
∵AC=BC=1，
∴x+x=1
∴x=，
∴DB=BG=x=×=．