Question

如图（1），PC是⊙O的直径，PA与PB是弦，且∠APC=∠BPC．
（1）求证：PA=PB；
（2）如果点P是由圆上运动到圆外，PC过圆心．如图（2），是否仍有PA=PB？为什么？
（3）如图（3），如果点P由圆上运动到圆内呢？

Answer

（1）作出弦心距，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求得△POE≌△POF，而证得PA=PB；
（2）（3）同（1）．
【解析】
（1）作OE⊥PA于点E，OF⊥PB于点F，
∵∠APC=∠BPC，
∴OE=OF，
可证△POE≌△POF，
∴PE=PF．
又∵PE=PA，PF=PB，
∴PA=PB．

（2）、（3）结论成立．
（2）证明：作OE⊥PA于点E，OF⊥PB于点F，
∵∠APC=∠BPC，
∴OE=OF，
根据在同圆中圆心距相等，则相对应的弦相等，
∴PA=PB．

（3）作OE⊥PA于点E，OF⊥PB于点F，设延长AP交圆于点H，延长BP交圆于点G，
∵∠APC=∠BPC，
∴OE=OF，
根据在同圆中圆心距相等，则相对应的弦相等，
∴AH=BG，
△POE≌△POF，
∴PE=PF，AE=BF，EH=FG，
∴EH-PE=GF-PF，
即PH=PG，
∴PA=PB．