Question

现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）．请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤．（要求写出两种测量方案）

Answer

利用90度的圆周角对的弦是直径，把角尺顶点放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B，另一边交于点C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C），度量BC长即为直径．

【解析】
解法一：如图（1），把井盖卡在角尺间，可测得AB的长度，记井盖所在圆的圆心为O，连接OB、OC，由切线的性质得OB⊥AB，OC⊥AC，又AB⊥AC，OB=OC，则四边形ABOC为正方形，
那么井盖半径OC=AB，这样就可求出井盖的直径；

解法二：如图（2），把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B，另一边交于点C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C），度量BC长即为直径；

解法三：如图（3），把角尺当直尺用，量出AB的长度，取AB中点C，然后把角尺顶点与C点重合，有一边与CB重合，让另一边与井盖边缘交于D点，延长DC交井盖边于E，度量DE长度即为直径；

解法四：如图（4），把井盖卡在角尺间，记录B、C的位置，再把角尺当作直尺用，可测得BC的长度．
记圆心为O，作OD⊥BC，D为垂足，由垂径定理得BD=DC=BC，且∠BOD=∠COD．
由作图知∠BOC=90°，∴∠BOD=×90°=45°，在Rt△BOD中，BO=，这样就可求出井盖的半径，进而求得直径；

解法五：如图（5），把角尺当作直尺用，先测得AB的长度，记录A、B的位置，再量AC=AB，记录C的位置，然后测得BC的长度，作等腰三角形BAC底边BC上的高AD，D为垂足，∵AD垂直平分BC，∴由垂径定理的推论可知AD一定过圆心O，由BD=BC，可求出BD，∵AB已测出，∴在Rt△BDA中，根据勾股定理可求出AD，那么，在Rt△BDO中，OB2=BD2+OD2=BD2+（AD-AO）2
设井盖半径为r，则r2=BD2+（AD-r）2，∵BD、AD都已知，∴解一元二次方程就可求出井盖的半径r，这样就可求出井盖的直径．
注：学生的其他测量方案只要符合题目要求，且是可行的都应得分，写出一种方案得（4分），两种方案得（8分）．