Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE，得AE=______；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．

Answer

（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；
（2）根据相似三角形的判定方法得到△ADE∽△ABC再根据相似三角形的对应边对应成比例从而求得；
（3）根据二次函数求解．
【解析】
（1）由已知得DECF是矩形，故EC=DF=y，AE=8-EC=8-y；

（2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）S=xy=x（8-2x）=-2（x-2）2+8，
∴当x=2时，S=-2（2-2）2+8，即S有最大值8．