Question

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为Bn，得Rt△ABE，如图2；
第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图3；
利用展开图4探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

Answer

（1）应该是等边三角形．先证明△ABE≌△AB′E，得出∠AB'E=90°，∠A=∠BAE，然后证明△AB′E≌△AB′F，得出AE=AF，∠B'AE=∠B'AF，从而可确定∠EAF=60°，继而得出△AEF是等边三角形．
（2）根据（1）我们可看出，要想折出等边三角形，AD≥AF，我们看当AD=AF时，矩形的长和宽的比例是多少，AF：AB=sin60°=2：，那么要想折出等边三角形，那么矩形的宽就必须小于长的．
【解析】
（1）△AEF是等边三角形．
证明：∵△ABE与△AB′E完全重合，
∴△ABE≌△AB′E，∠BAE=∠1，
由平行线等分线段定理知EB′=B′F，
又∵∠AB′E=90°
∴△AB′E≌△AB′F，
∴AE=AF，∠1=∠2=∠BAD=30°，
∴△AEF是等边三角形．

（2）不一定．
由上推证可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽：长=AB：AF=sin60°=：2
时正好能折出．
设矩形的长为a，宽为b，可知
当b≤a时，按此法一定能折出等边三角形；
当a＜b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形．