Question

如图，在半径为r的半圆⊙O中，半径OA⊥直径BC，点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求证：S_{四边形AEOF}=r²；
（2）设AE=x，S_△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围；
（3）当S_△OEF=S_△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长．

Answer

（1）先证△AOE≌△COF，可知四边形AEOF的面积=△AOC的面积=r2；
（2）利用S△OEF=S四边形AEOF-S△AEF，可求得y=x2-rx+r2（0＜x＜r）；
（3）当S△OEF=S△ABC时，y=r2，即x2-rx+r2=r2，解得x1=，根据直角三角形边长之间的关系可知EF=r．
（1）证明：∵OA=OC，AE=CF，∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF，
∴四边形AEOF的面积=△AOC的面积=r2．

（2）【解析】
∵S△OEF=S四边形AEOF-S△AEF=r2-（r-x）•x=x2-rx+r2，
∴y=x2-rx+r2（0＜x＜r）

（3）【解析】
当S△OEF=S△ABC时，y=r2
∴x2-rx+r2=r2
∴x1=r，
∴或
即AE=AB，AF=AC或AE=AB，AF=AC．
∴EF=r．