Question

已知AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为K．现取一块三角板，把它的一个锐角顶点固定在点C处，该锐角的两边（从左到右）与直线AB和圆分别相交于E、F和G、H．
（1）若∠C的一边过圆心，请选择图1或图2所示，求证：△CEF∽△CHG；
（2）若∠C的边不过圆心，在图3中补全一种示意图，请你观察所画的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）在已知的两个三角形中，共用一个角C，又CH为直径且和AB垂直，所以∠HGC=∠CFE=90°，因此可证明△CEF∽△CHG；
（2）题中结论仍然成立．证明方法与（1）相同．
证明：（1）如图2，∵CH是圆的直径，
∴∠CGH=90°．（2分）
∵CD⊥AB，
∴∠CFE=∠CGH=90°．（3分）
∵∠FCE=∠GCH，
∴△CEF∽△CHG．（5分）

（2）答：若∠C的边不过圆心，（1）中的结论仍然成立（画图2分）（8分）
证明：如图3，当CF交直线AB于圆外时，连接DH，（9分）
由（1）得∠CFE=∠CDH，
∵∠CGH=∠CFE，（11分）
∵∠HCG=∠ECF，
∴△CEF∽△CHG． （12分）
注：下图供参考．