Question

如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．
（1）求证：OC=OF；
（2）在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边为2，求正方形FGHK的面积．

Answer

（1）连接OD，OE，则OD=OE，求证：OC=OF，可以转化为求证Rt△DOC≌Rt△EOF．
（2）连接OH，在Rt△OEF中勾股定理得到OE，然后在Rt△OHG中根据勾股定理，得到关于设正方形FGHK的边长为x的方程，就可以求出x的值．得到正方形的面积．
（1）证明：连接OD，OE，则OD=OE，
∵四边形CDEF为正方形
∴CD=FE，∠DCO=∠EFO=90°，
∴在Rt△DOC和Rt△EOF中：

∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴OC=OF．（4分）

（2）【解析】
连接OH，设正方形FGHK的边长为x．（5分）
由已知及（1）可得EF=2，OF=1．
在Rt△OEF中，OE2=OF2+EF2=12+22=5．（6分）
在Rt△OHG中，OH2=OG2+GH2，OE=OH，
∴5=（1+x）2+x2．（7分）
整理得x2+x-2=0．
解得x1=-2（不合题意，舍去），x2=1．（8分）
∴x2=1
∴正方形FGHK的面积为1．（9分）