Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，连接BB₁，设CB₁交AB于D，A_lB₁分别交AB，AC于E，F．
（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，除了△ABC≌△A₁B₁C，还有其他三对全等的三角形，请你全部写出来（不用证明）；
（2）当BB₁=BD时，求α度数；
（3）设BD=x，△ACD的面积为y，求y与x的函数关系式．

Answer

（1）根据旋转的性质∠α=∠ACA1，又由A1C=B1C，∠A1=∠ABC=45°我们可得出三角形A1FC和CBD全等．
三角形ACD和三角形B1CF中，B1C=BC=AC，∠A=∠CB1F，又有一公共角因此构成了两三角形全等中的ASA，两三角形就全等了．
三角形AFE和B1DE中，已知的有∠A=∠CB1F=45°，一组对顶角相等，那么只要得出一组对应边相等即可得出全等的结论．
由上面的△ACD≌△B1CF可得出CF=CD，因为AC=B1C，那么AF=B1D因此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形全等．
（2）BB1=BD我们可得出∠BB1D=∠BDB1，根据旋转的性质我们知道CB1=CB，那么∠B1BC=∠BB1C，∵∠B1DB=∠α+45°，
∠B1BC=∠B1BD+45°，∠B1BC=∠BB1C，因此∠B1BD=∠α，三角形B1BD中，
由三角形ACB是等腰直角三角形我们可得出，∠ABC=45°，因此∠B1DB=∠B1DB=∠α+45°，因此∠α+∠α+45+∠α+45=180，
∠α=30°
（3）可通过构建直角三角形来求解，作CM⊥AB，垂足为M，直角三角形ABC中，有直角边的值我们不难求出斜边AB的长，有了AB的值，我们就能用x表示出AD的长，现在的关键是找出AD边上的高CM的值．直角三角形ACM中，∠A=45°，有斜边AC的长，AD的高就可以求出了，那么根据三角形的面积公式，我们就能写出关于x，y的函数关系式了．
【解析】
（1）△DBC≌△FA1C，△ACD≌△B1CF，△AFE≌△B1DE；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BB1=BD，
∴∠BDB1=∠BB1D，
∵CB=CB1，
∴∠CBB1=∠CB1B，
又∵∠BDB1=∠DCB+∠DBC=α+45°，
∴∠CBB1=∠CB1B=∠BDB1=α+45°，
又∵∠CBB1+∠CB1B+∠B1CB=180°，
∴3α+90°=180°，
∴α=30°；

（3）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴，
作CM⊥AB，垂足为M，
则AM=BM，
∴CM==，
∵BD=x，
∴AD=AB-BD=，
∴△ACD的面积y=
=
=
∴y与x的函数关系式为y=．