Question

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．

Answer

（1）此题分两种情况考虑：一是b和c中有一个和a相等，是3；二是b=c，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．
（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，3，3的三角形的外接圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．
【解析】
（1）若b、c中有一边等于3，
则方程可化为，
解得；
原方程可化为，
解得x1=3，x2=，
所以三角形的周长为3+3+=；
若b=c，则△=，
解得m=-4或2，
当m=-4时，方程为x2-4x+4=0，得x1=x2=2，
所以三角形的周长为2+2+3=7；
当m=2时，方程为x2+2x+1=0，得x1=x2=-1；（不合题意，舍去）
综上可知△ABC的周长为7或7．

（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．
∵△ABC的三边均为整数，
∴AB=AC=2，BC=3，
BE=BC=．AE===，
设AO=R，在Rt△BOE中，R2=（）2+（-R）2，
∴R=，
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．