Question

如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x²-2mx+3=0的两根，AB=m．试求：
（1）⊙O的半径；
（2）由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积．

Answer

用切线的性质及根的判别式求出m的值即AB的长，代入原方程得出两根即PA、PB的长，因AB=PA=PB，△ABP为等边三角形，∠APB=60°，则∠APO=30°，再用正切公式求出OA的长及圆的半径．用正切求出OP的长，四边形的度数和求出∠AOB的度数，再求出△AOB和△APB的面积和，减去扇形OAB的面积即为所求．
【解析】
（1）连OA，OB，
∵PA=PB，（1分）
∴△=（-2m）2-4×3=0，
∴m2=3，m＞0，
∴m=，
∴x2-2x+3=0，
∴x1=x2=，
∴PA=PB=AB=，
∴△ABP等边三角形，
∴∠APB=60°，（3分）
∴∠APO=30°，
∵PA=，
∴OA=1；（4分）

（2）∵∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
S阴=S四边形OAPB-S扇形OAB
=2S△AOP-S扇形OAB
=2××1×-，
=-π．（8分）