Question

抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得Q点到A点与C点的距离之和最短？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）可将A、B两点的坐标代入抛物线中即可求出待定系数的值．也就能求出抛物线的解析式．
（2）本题的关键是确定Q点的坐标，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，因此连接BC，BC与对称轴的交点就是Q点的坐标，可先根据B、C的坐标确定出直线BC的解析式，然后根据抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
【解析】
（1）将A、B两点坐标代入方程
解得．
∴y=-x2+2x+3．

（2）抛物线的对称轴上存在点Q使得△QAC的周长最小．
∵A点的对称点为B点，BC与x=1的交点就是Q点．
由（1）可知C点坐标为（0，3）
设BC方程为y=kx+b
将B、C两点坐标代入．
解得．
∴y=-x+3．
当x=1时，y=2△QAC的周长最小．
因此存在这样的Q点，且Q的坐标为（1，2）．