Question

已知抛物线y=4x²-7x+4与直线y=x+b相交于A、B两点．
（1）求b的取值范围；
（2）当AB=2时，求b的值；
（3）设坐标原点为O，在（2）的条件下，求△AOB的面积．

Answer

（1）根据交点的意义可得4x2-7x+4=x+b，整理，得4x2-8x+（4-b）=0，抛物线与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，即△=（-8）2-16（4-b）=16b＞0，所以b＞0．
（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），x1＜x2，根据x1、x2是方程4x2-8x+（4-b）=0的两根，利用根与系数的关系可知
|x1-x2|=，根据题意可知y2-y1=x2-x1，所以，即b=2．
（3）由（2）可知，直线的解析式为y=x+2，设直线与y轴交于C点，则C点的坐标为（0，2），OC=2，易知x2＞x1＞0，用点的坐标表示出线段的长度，并表示出S△AOC，S△BOC，可知S△AOB=S△AOC-S△BOC==．
【解析】
（1）根据题意，得4x2-7x+4=x+b．（1分）
整理，得4x2-8x+（4-b）=0．（2分）
∵抛物线与直线有两个交点，
∴△=（-8）2-16（4-b）=16b＞0．
∴b＞0（3分）．

（2）不妨设A（x1，y1）B（x2，y2），x1＜x2，如图
∵x1、x2是方程4x2-8x+（4-b）=0的两根
∴（4分）
∴（5分）
∴y1=x1+b，y2=x2+b
∴y2-y1=x2-x1（6分）
∴
∴b=2．（7分）

（3）由（2）可知，直线的解析式为y=x+2，设直线与y轴交于C点，
则C点的坐标为（0，2），OC=2，易知x2＞x1＞0．
∵，（8分）
∴（9分）
=
∴（10分）．