Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长．

Answer

（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以来三角形相似，对应边成比例来求．
（1）证明：连接OC；
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圆中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴=，
∴=，
∴=，
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽Rt△CAB，
∴，
∴
∴AC2=，
由勾股定理得：
BC=．