Question

如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A⇒B⇒C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A⇒D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm²．
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．

Answer

（1）当0≤x≤1时，AP=2x，AQ=x，则y=AQ•AP=x2．
（2）根据题意，橡皮筋刚好触及钉子时，橡皮筋扫过的面积正好是正方形的一半由此的求出x的值．
（3）要分两种情况进行讨论，一是橡皮筋刚触及钉子时及其以前，二是触及钉子，橡皮筋弯曲后两种情况．第一种情况，按梯形的面积进行计算．第二种情况要从中间分成两个梯形，然后按两个梯形的面积进行计算．
（4）根据（1）（2）（3）中得出的不同x的取值下的y的函数式画图即可．
【解析】
（1）当0≤x≤1时，AP=2x，AQ=x，y=AQ•AP=x2，
即y=x2．

（2）当S四边形ABPQ=S正方形ABCD时，橡皮筋刚好触及钉子，
BP=2x-2，AQ=x，（2x-2+x）×2=×22，∴x=．

（3）当1≤x≤时，AB=2，PB=2x-2，AQ=x，
∴y=×2=3x-2，
即y=3x-2．
作OE⊥AB，E为垂足．
当≤x≤2时，
BP=2x-2，AQ=x，OE=1，y=S梯形BEOP+S梯形OEAQ==，
即y=x．（6分）
90°≤∠POQ≤180°．

（4）如图所示：
．