Question

某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y_A（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y_A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y_B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y_B=ax²+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

Answer

（1）根据所给数据易得方程和方程组，解之得函数表达式；
（2）设同时投资两种产品获利W万元，w=yA+yB，得出利润表达式，运用函数性质求解．
【解析】
（1）∵当x=5时，yA=2，
∴2=5k，
∴k=0.4．
∴yA=0.4x．
当x=2时，yB=2.4；
当x=4时，yB=3.2
∴，
解得．
∴yB=-0.2x2+1.6x．

（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10-x）万元，获得利润W万元．
根据题意可得：
W=-0.2x2+1.6x+0.4（10-x）=-0.2x2+1.2x+4．
∴W=-0.2（x-3）2+5.8．
当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，
所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．