Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b²+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①将x=-2代入y=ax2+bx+c，可以结合图象得出x=-2时，y＜0；
②由y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），a-b+c=2，与y轴交于（0，2）点，c=2，从而得出a-b=0，二次函数的开口向下，a＜0，∴2a-b＜0；
③根据函数与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，可以得出两根的近似值，从而代入函数解析式，得出a，b，的值；得出a＜-1；
④利用③的解析式得出，b2+8a＞4ac．
【解析】
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论
①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，
∵-2＜x1＜-1，∴y＜0，故①正确；

②2a-b＜0；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），
∴a-b+c=2，与y轴交于（0，2）点，c=2，
∴a-b=0，二次函数的开口向下，a＜0，
∴2a-b＜0，故②正确；

③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以③正确

④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：
＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选：D．