Question

抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点A（），B（）与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D，在△BCD中，边CD的高为h．
（1）若c=ka，求系数k的值；
（2）当∠ACB=90°，求a及h的值；
（3）当∠ACB≥90°时，经过探究、猜想请你直接写出h的取值范围．
（不要求书写探究、猜想的过程）

Answer

（1）由于A、B是抛物线与x轴的两个交点，可用交点式表示该抛物线的解析式，展开后即可得到c、a的关系式，进而可判断出k的值．
（2）若∠ACB=90°，根据射影定理即可求得OC的长，从而得到C点的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而可求得顶点D的坐标；过D作DE⊥y轴于E，过B作BF⊥CH于F，那么BF就是所求的h，延长DC交x轴于H，易证得△DCE∽△HCO，根据得到的比例线段，可求得OH的长，从而得到BH的值，易求得∠OHC的度数，在Rt△BFH中，通过解直角三角形即可求得BF的长即h的值．
（3）∠ACB≥90°时，h随∠ACB度数的增大而减小，由此可确定h的取值范围．
【解析】
（1）因为A（-3，0），B（，0）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，
所以有，y=a（x+3）（x-）=a（），
又因为c=-9a
所以k=-9．

（2）由于∠ACB=90°时，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°．
可得∠ACO=∠OBC．
∴△AOC∽△COB．
∴，
即OC2=OA•OB=3×=9．
∴OC=3．
∵C（0-3），由（1）知-9a，
∴a=．
过D作DE⊥OC交y轴于点E，延长DC交x轴于点H，过B作BF⊥CH于点F．
即BF是边DC的高h．
因为D是抛物线的顶点，
所以D（-），
故OE=4，又OC=3，可得CE=1，DE=．
易证△HCO∽△DCE，有===3，
故OH=3DE=3，BH=OH-OB=2．
由于∠COH=90°，OC=3，OH=3，由勾股定理知CH=6，有∠OHC=30°，
又因为在Rt△BHF中，BH=2，
所以BF=，即h=．

（3）当∠ACB≥90°时，猜想0＜h≤．