Question

如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，
求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE²=EB•EK．

Answer

（1）要证明两个三角形相似，已经有一个公共角，只需根据等角的余角相等得到∠BAE=∠F，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠F=∠K，即可证明两个三角形相似；
（2）根据（1）中的相似三角形就可证明．
证明：（1）连接AK、AF，
∴∠K=∠F=90°-∠AEF=90°-∠AEG．
∠EAG=90°-∠AEG．
∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．
∴△AEB∽△KEA．

（2）由①得△AEB∽△KEA，
∴．
∴AE2=EB•EK．