Question

已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

Answer

（1）要求BM和DM的关系，可从角的度数入手，由题意，BM是直角三角形CBE斜边上的中线，因此BM=CM，∠MCB=∠MBC，
∠BME=2∠MCB，同理可得出∠DME=2∠DCM，根据三角形ABC是个等腰直角三角形，那么∠DCM+∠BCE=45°，因此∠BME+∠DME=2（∠DCM+∠BCM）=90°，由此我们可得出∠BMD=90°，那么BM和DM是互相垂直的；
（2）可通过构建三角形来求解，连接BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．那么我们只要证明三角形DBF是个等腰三角形就可以了（等腰三角形三线合一）．那么关键就是证明三角形ADB和CFB全等．这两个三角形中已知的只有AB=BC，根据EM=MC，DM=MF，那么四边形DEFC就是平行四边形，ED=CF=AD，那么只要得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠BCF=∠ACF-45°，∠ACF=∠AHE，那么只要证得∠BAD=∠AHE-45°即可，∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，由此可得出∠BAD=∠BCF，那么就能证得两三角形全等了（SAS）．那么就能证得DBF是个等腰三角形了根据等腰三角形三线合一的特点，也就能得出BM⊥DM了．
【解析】
（1）BM=DM，BM⊥DM，
在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，
∴BM=EC=EM=MC，
∴∠EMB=2∠ECB．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，
∴DM=EC=EM=MC．
∴∠EMD=2∠ECD．
∴BM=DM，∠EMD+∠EMB=2（∠ECD+∠ECB），
∵∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．

（2）：（1）中的结论仍成立，
连接BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连接BF、FC，延长ED交AC于点H．
∵DM=MF，EM=MC，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，ED=CF，
∵ED=AD，
∴AD=CF．
∵DE∥CF，
∴∠AHE=∠ACF．
∵∠BAD=45°-∠DAH=45°-（90°-∠AHE）=∠AHE-45°，∠BCF=∠ACF-45°，
∴∠BAD=∠BCF．
又∵AB=BC，
∴△ABD≌△CBF，
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF，
∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC=90°．
在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM．