Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0．
（1）若a，b是方程的两根，求证△ABC为直角三角形；
（2）若在（1）的条件下，且25asinA=9c，求此直角三角形三边的长．

Answer

（1）根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系，推出a，b，c的三边关系，从而根据勾股定理的逆定理可证．
（2）由三角函数的定义，结合已知，分析三边关系，再结合根与系数的关系可求得c，从而求出a，b．
【解析】
（1）∵a，b是方程的根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8．
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=（c+4）2-2×（4c+8）=c2+8c+16-8c-16=c2．
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．

（2）由（1）知∠C=90°，故sinA=．
又25asinA=9c，则sinA=，
∴=，
∴=，
得，
则可得．
由a+b=c+4，可得，
解得c=10．
∴a=6，b=8．