Question

（根据课本习题改编）如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为．
探究与计算：
（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为______；
（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为______；
（3）如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

Answer

利用相似三角形的对应高的比等于相似比可列出关于x的方程求解即可．如三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，设正方形的边长是x，则过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，易得△CGF∽△CAB，所以，即解得x=．
【解析】
（1）；（2分）

（2）；（2分）

（3）若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是．（2分）
证明，如图，
过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
设小正方形的边长为x，
∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，
易算出CN=，
∴，即，
∴x=．
即小正方形的边长是．（4分）