Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E．点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止．
（1）设AP=x，△PQE的面积为S．请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围．
（2）点P在运动过程中，△PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由．

Answer

（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F，易证△PFC∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BC、AB．证明△ABK∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求解．
（2）△PQE面积有最大值，就是求函数的最值问题，根据函数的性质就可以求解．
【解析】
（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F．
∵在矩形ABCD中，PF∥AB
∴△PFC∽△ABC（1分）
∴
又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2
又∵在Rt△ABC中，
∴PC=3-x
∴
∴
（2分）
又∵PE⊥CD
∴∠PEC=90°
又在四边形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四边形PFCE为矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB（3分）
∴
又∵PE=FC
∴
又∵
∴
∴
∴
∴（4分）
∴S=EQ•PE=ו
∴或（5分）
过点B作BK⊥AC，垂足为K．
在Rt△ABC中，由等积法可得AC•BK=AB•BC（6分）
∴AC•BK=AB•BC
∴BK==
由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP=AK，
由△ABK∽△ACB
得
即
∴
∴x的取值范围是（7分）

（2）△PQE面积有最大值（8分）
由（1）可得=（9分）
∴当即时，S面积最大，即S最大=．（10分）