Question

为了美化社区环境，某小区准备对门口的一块矩形空地ABCD重新进行绿化，已知矩形的边长AB=10m，BC=20m，绿化方案如下：在矩形ABCD中间的一块四边形EFGH地面上种花，剩下的其它四块地面上铺设草坪，并要AH=CF=2AE=2CG．在满足上述条件的所有设计中，求出使四边形EFGH面积最大的AE的长和此时四边形EFGH的面积．

Answer

先设AE=x，根据图形，可知S四边形EFGH=S矩形-S△BEF-S△DGH-S△AEH-S△GFC，由已知条件及矩形性质可得：△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，即S四边形EFGH=S矩形-2S△BEF-2S△AEH=-4（x-5）2+100．因为0＜x＜10，故x=5，S有最大值．
【解析】
设AE=x，则AH=CF=2x，BE=DC=10-x，BF=DH=20-2x，
∴四边形EFGH的面积S=10×20-2×x•2x-2×（10-x）（20-2x），
即S=-4x2+40x，
又∵S=-4（x-5）2+100，
由题意，得0＜x＜10，而0＜5＜10，
∴当AE=5m时，四边形EFGH的面积最大，最大面积是100m2．