Question

2008年年初，为了迎接在北京举行的奥运会，北京某文化生产企业特生产一批具有中国传统文化特色的“奥运衫”，每件产品的成本价20元，试销阶段产品的日销量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的关系如下表：

x（元）	25	30	35	40
y（件）	200	150	100	50

（1）若规定此“奥运衫”的利润不能超过100%，请你从所学过的函数中确定哪种函数能表示y与x的变化规律，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）要使日销售利润w（元）最大，每件产品的销售价x（元）应定为多少？此时每日销售利润是多少？

Answer

（1）一次函数关系式的特点是自变量x等额增大时，函数y也随之等额地增大或者减少，可以判断本题是一次函数关系式，用“两点法”求解；
（2）由日销售利润w=（销售单价-成本单价）×日销量y，列出函数关系式，并运用关系式求最大值．
【解析】
（1）根据图中数据变化趋势知y是x的一次函数（或通过描点，连线观察得到）
设y=kx+b，选取两点（25，200），（30，150）代入得，
25k+b=200
30k+b=150
解得k=-10，b=450
又每件利润不能超过100%，故x≤40
∴y=-10x+450（20≤x≤40）

（2）由题意知w=（20-x）y=（20-x）（-10x+450）
=-10x2+650 x-9000（8分）
=-10x（x-）2+1562.5
∴当销售价定为32.5元时，日销售利润最大，最大利润为1562.5元．